lezione17: La scomposizione dei vettori


La scomposizione dei vettori

Un vettore si dice scomposto lungo due assi, se si trovano due vettori, giacenti su tali assi, che sommati fra di loro diano come risultato il vettore di partenza.

Ogni vettore v si può scomporre univocamente nelle sue due proiezioni vx e vy lungo gli assi cartesiani x e y. Ecco come:

Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di origine O e scegliamo un vettore v

Si possono determinare le componenti del vettore v lungo i due assi come nella figura, proiettando il vettore sugli assi e ottenendo i vettori vx e vy.

Il vettore vx è la proiezione di a lungo l'asse x e analogamente il vettore vproiezione di v lungo l'asse y.

Si vede immediatamente (regola del parallelogramma, che in questo caso è un rettangolo) che    vx + vy = v

Si può dimostrare ( e lo faremo più avanti, utilizzando le proprietà dei triangoli simili) che 

si ottengono esattamente le componenti del vettore v con le seguenti formule trigonometriche (e qui serve una calcolatrice scientifica):

vx = v cos θ

 

vy = v sen θ

Per il momento ci accontentiamo di una vertifica numerica


Si vede subito che la scomposizione di un vettore può essere fatta anche lungo due assi non perpendicolari fra di loro, come nella figura accanto: infatti la scomposizione non è altro che la l'operazione contraria della somma: quando sommiamo due vettori vogliamo trovarne uno solo equivalente ai due di partenza. Quando scomponiamo un vettore vogliamo trovarne due che sommati fra di loro ci diano quello di partenza.