misura degli angoli

Definizione di angolo  Due semirette aventi la stessa origine dividono il loro piano in due figure, ciascuna delle quali è detta angolo; tali semirette si dicono lati dell’angolo e la loro origine si dice vertice dell’angolo.Un angolo si dice piatto quando i suoi lati sono semirette opposte; gli angoli formati da due semirette coincidenti si dicono invece angolo nullo e angolo giro.Un qualunque angolo può essere diviso, mediante semirette con origine nel suovertice, in un qualsiasi numero di angoli tra loro congruenti; in particolare, si dice bisettrice di un angolo la semiretta che lo divide in due angoli congruenti e si chiama angolo retto ciascuno dei due angoli in cui un angolo piatto resta diviso dalla sua bisettrice.Proprietà. Tutti gli angoli retti (o piatti o nulli o giri) sono tra loro congruenti.È nota ed intuitiva la possibilità di misurare l’ampiezza di un angolo 1; se si sceglie ad esempio il grado (che è, per definizione, la novantesima parte dell’angolo retto) come unità di misura, si ha angolo misura in gradi (“ ◦” oppure “deg”)nullo 0◦retto 90◦piatto 180◦giro 360◦inoltre due angoli sono congruenti se e solo se hanno la stessa ampiezza (ovverol a stessa misura).

 

 

I sistemi di misura usati per gli angoli sono due.

 

- Il sistema sessagesimale: ha come unità di misura il grado, che è la 90a parte di un angolo retto

- Il sistema circolare: ha come unità di misura il radiante, così definito:

 

 

def. Si chiama misura dell'angolo a in radianti il rapporto ar tra l'arco di circonferenza AP = s da lui sotteso e il raggio OP = r dell'arco.

 

 

 

si dimostra che  è una definizione indipendente dalla grandezza  del cerchio. Evidentemente, un angolo di  1  radiante (si scrive anche  1 rad ) è quell'angolo che sottende un arco  lungo quanto il raggio :

 

 

 

le funzioni trigonometriche

La parola trigonometria deriva dal greco e significa “misura dei triangoli”. Il seno, il coseno e la tangente sono tre rapporti trigonometrici, ossia rapporti tra le misure degli elementi di un tr

Nei triangoli rettangoli è possibile, avendo un solo lato e un angolo, trovare le misure degli angoli interni e i rimanenti lati; per fare ciò in matematica si usano due funzioni goniometriche, seno e coseno. 
Ma effettivamente,cosa sono seno e coseno? Proveremo a spiegarlo in maniera semplice.

 

Fissato un sistema di riferimento cartesiano,consideriamo un angolo nella sua posizione normale,avente cioè vertice nell'origine O e una delle due semirette coincidente con l'asse x. Prendiamo ora un punto P qualsiasi lungo il primo lato e tracciamone la perpendicolare,individuando in tal modo il punto H. Otterremo così il triangolo rettangolo OPH.

 

Proviamo ora a prendere un altro punto P',lungo il primo lato, e tracciamone la rispettiva perpendicolare. Noteremo che i due triangoli rettangoli ottenuti (OPH e OP'H') sono simili tra loro,come possiamo meglio osservare in figura,

(ricorda che le figure simili sono quelle che differiscono solo per grandezza, ma non per forma. In altre parole, due figure simili sono l’una l’ingrandimento dell’altra. Ad esempio, le due stelle a cinque punte sono simili, mentre non sono simili una stella a cinque punte e una a quattro punte. 
Analogamente, sono simili due triangoli con i lati doppi l’uno dell’altro, mentre non lo sono quelli in figura perché in questo caso l’ingrandimento si fa in una sola direzione. Osserviamo che tutti i quadrati sono simili tra loro, come pure tutti i cerchi e tutti i poligoni regolari con lo stesso numero di lati.) 

 

 

ma una proprietà importante delle figure simili è che  il rapporto tra i lati corrispondenti rimarrà costante :


PH/OP=P'H'/OP'=P"H"/OP"=...  cioè cateto opposto diviso ipotenusa

OH/OP=OH'/OP'=OH"/OP"=...    cioè cateto adiacente diviso ipotenusa 

PH/OH=P'H'/OH'=P"H"/OH"=...    cioè cateto opposto diviso cateto adiacente


 

Il seno dell'angolo sarà uguale al rapporto tra il cateto PH e l'ipotenusa OP;

il coseno corrisponderà,invece, al rapporto tra il cateto OH e l'ipotenusa OP.

La tangente di un angolo è definita come il rapporto fra il cateto opposto e quello adiacente all'angolo

e anch'essa come il seno e il coseno dipende solo dall'ampiezza dell'angolo.


Se a questo punto, si stabilisce per convenzione che OP sia uguale ad 1, si ottiene:

 

        - il seno, ottenuto dal rapporto PH, essendo OP=1,sarà uguale al solo PH.   

                                                    OP

 

        - Il coseno,ottenuto dal rapporto OH, essendo OP=1,sarà uguale OH.
                                                       OP