incertezza nelle misure indirette o propagazione dell'errore


supponiamo di avere misurato due masse 


esempi:

Se abbiamo misurato i lati di un rettangolo: 

           AC =    L1 = ( 3,2 ± 0,1) cm                   e

          CD =    L2 = ( 5,7 ± 0,3) cm

 

Allora quanto vale il perimetro?

 

2p = L1+L2+L1+L2 = 3,2+5,7+3,2+5,7 = 17,8 cm

 

 e come si trova l'incertezza sul perimetro?  

 

Siccome per trovare il perimetro abbiamo fatto una somma, l'incertezza del risultato si trova facendo la somma delle incertezze di ciascun lato

 

Δ2p = ΔL1 + ΔL2 + ΔL1 + ΔL2 = 0,1 + 0,3+ 0,1 + 0,3 = 0,8 cm

 

e il risultato finale quindi è      2p = ( 17,8 ± 0,8 ) cm

 

Procedimento analogo se avessimo fatto una sottrazione fra grandezze misurate: l'incertezza del risultato si trova sempre sommando le incertezze dei singoli termini.


E se adesso volessimo trovare l'area di questo rettangolo? 

 

Area = S = L1 * L2    cioè facciamo una moltiplicazione fra grandezze misurate

 

intanto troviamo il valore dell'area      S = L1 * L2  = 3,2 * 5,7 = 18,24 cm² 

 

e adesso come si procede per l'incertezza? 

 

Siccome l'area  S  deriva da una moltiplicazione, bisogna rivolgersi agli errori relativi:

 

dobbiamo calcolare gli errori relativi di ciascun termine che compare nel calcolo di S 

 

cioè     Erel (L1)= ΔL1/L1  = 0,1/3,2 = 0,0312        e       Erel (L1)= ΔL2/L2  = 0,3/5,7 = 0,0526

 

Adesso l'errore relativo di S si ottiene quindi sommando questi errori relativi

 

Erel (S) = Erel (L1) + Erel (L2) = 0,0312 + 0,0526 = 0,0838   

 

ma adesso siamo quasi arrivati alla fine, perché per ottenere ΔS cioè l'errore assoluto di S, basterà moltiplicare  S per il suo errore relativo 

 

ΔS = S * Erel (S) = 18,24 * 0,0838 = 1,53 cm²

 

siamo pronti quindi per scrivere in ordine il risultato finale:

 

S = (18 ± 2 ) cm²                           

 

 

 

Quindi riassumendo: se devo fare delle operazioni matematiche  con delle misure, conviene sempre avere già disponibili e chiari i loro errori assoluti e i loro errori relativi:

  • se  faccio una somma o una sottrazione allora sommerò gli errori assoluti  ( e così ottengo l'errore assoluto del risultato) 

 

  • se  faccio una moltiplicazione o una divisione  allora sommerò gli errori relativi  (ma poi mi devo ricordare che così ho ottenuto l'errore relativo del risultato e quindi devo ancora moltiplicare per il valore totale)